Тепловые свойства двумерных кристаллических решёток как совокупности квантовых ангармонических осцилляторов
Введение
Одной из простейших моделей твёрдого тела является модель, в которой атомы кристаллической решётки представляются как осцилляторы. При этом термические и упругие свойства определяются параметрами отдельного осциллятора. В отличие от системы гармонических осцилляторов, ангармоничность взаимодействия атомов вызывает ряд эффектов таких, как, например, термоупругий эффект. Это эффект, который заключается в изменении температуры твёрдого тела посредством адиабатического упругого нагружения. Теория термоупругости позволяет описать системы в условиях нестационарного неравномерного нагрева с неравномерным тепловым расширением, которое приводит к появлению температурных напряжений. Их характер действия и значение необходимы для исследования прочности систем. Методы, которые используются для описания термоупругости не рассматривают природы микроскопических эффектов, но для решения макроскопических задач это вполне допустимо.
Оглавление
Реферат4
Введение5
Тепловая энергия твердых тел и теплоемкость6
Теплоемкость при низких температурах9
Флуктуации энергии13
Тепловое расширение твердых тел15
Одномерный ангармонический осциллятор19
Классический случай19
Квантовый случай21
Двумерный квантовый гармонический осциллятор23
Двумерный квантовый анизотропный гармонический осциллятор23
Двумерный ангармонический осциллятор24
Термоупругие свойства твердого тела в рамках ангармонического приближения25
Статистическое описание системы гармонических осцилляторов27
Свойства квантового ангармонического осциллятора, находящегося под постоянной нагрузкой29
Теория возмущений для двумерного ангармонического осциллятора31
Расчёт термодинамических потенциалов для системы двумерных ангармонических осцилляторов33
Расчёт термодинамических потенциалов для системы нагруженных двумерных осцилляторов36
Построение зависимости теплоёмкости от температуры при разной величине нагрузки39
Обсуждение результатов40
Заключение42
Список использованной литературы43
Приложение А45
Список использованной литературы
Н.А.Чеканов, И.Н.Беляева «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ АНГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ» //Вестник новгородского государственного университета №39 2006., С.41-46
С.В. Сазонов «Движение квантового ангармонического осциллятора»//Ученые записки казанского университета 2009 том 151 ч.1, С.150-157
Н.Н. Горобей, А.С. Лукьяненко «Моделирование термоупругих свойств твердого тела в рамкахансамбля ангармонических осцилляторов»//ФТТ 2014, том 56, вып. 11, С.2187-2190
Еркович О.С., Ведерников А.А. Спектральные свойства квантового ангармонического осциллятора, находящегося под воздействием постояннойсилы. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8.
А.В.Леванов,Э.Е.Антипенко.Определение термодинамических свойств статистическими методами. Классический идеальный газ.// Москва 2006
Коэн-Таннуджи, К Квантовая механика. В 2 т. Т. 2.: Учебник / К Коэн-Таннуджи. - М.: Ленанд, 2015. - 656 c
Коэн-Таннуджи, К. Квантовая механика. В 2 т. Т. 1.: Учебник / К. Коэн-Таннуджи. - М.: Ленанд, 2015. - 976 c
В.Г. Левич. Курс теоретической физики. Том 2. Наука, 1971 – 936 с.
Фок В. А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 376 с.
Kolkiran A., Agarwal G. Amplitude noise reduction in a nanomechanical oscillator // Mathematical and Computational Applications. 2011. Vol. 16, no. 1. P. 290–300
Sanin A., Semyonov E. Quantum Duffing oscillators // Nonlinear phenomena in complex systems. 2012. Vol. 15, no. 3. P. 274–282.
Санин А.Л., Семёнов Е.А. Квантовые двумерные осцилляторы с потенциалом связи Паллена – Эдмондса // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. 2013. Ном.3, с 230-235.
А. Н. Лукьяненко, Н. А. Чеканов Классическая и квантовая двумерные модельные системы с пятиямным полиномиальным потенциалом // Вопросы атомной науки и техники. Серия: теоретическая и прикладная физика. 2009. Ном. 2, с 14-19
В. М. Журавлев, В. М. Мо
Вероятность возникновения флуктуации подчиняется распределению Больцмана:
pE=A(T)e-EkTгде A(T) – функция, зависящая от температуры pE – вероятность нахождения атома в состоянии с энергией E.
Функция A(T) подбирается так, чтобы сумма вероятностей существования атома в конкретном состоянии была равна единице.
Для любых двух состояний, в которых энергия равна соответственно E1 и E2, относительная вероятность равна:
pE1pE2=e-E1kTe-E2kTНа следующем рисунке представлена зависимость функции A(T) от изменения энергии △E. Видно, что при △E=kT вероятность уменьшается до 37%, а при △E=3kT падает соответственно до 5%. Отсюда можно сделать вывод о том, что флуктуации, превосходящие kT в несколько раз, в действительности появляются очень редко.
Рис. 4. Больцмановское распределение вероятности состояний