Исследование популяционной модели Хатчинсона
Введение
В данном исследовании мы будем рассматривать математическую модель, которая описана дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом и может использоваться для описания различных биологических процессов. Такие системы, как, например, модель Мальтуса, представляют собой дифференциальные уравнения, поскольку прогнозирование численности включает в себя предсказание будущих событий, основываясь на результатах, которые были получены ранее. Таким образом, исследования математических моделей весьма актуальны и представляют существенный практический интерес. Одним из стандартных примеров является популяционная модель Хатчинсона, которая является продолжением модели Мальтуса и учитывает воздействие факторов окружающей среды, а также в которой добавляется фактор запаздывания – эта модель учитывает средний размер репродуктивного возраста изучаемого вида.
Актуальность выбранной темы обусловлена значимостью данной модели в области экологии, биологии сохранения. Модель Хатчинсон
Содержание
Введение3
Постановка задачи5
Обзор литературы6
Теоретико-методологические основы исследования7
1.Дифференциальные уравнения c запаздыванием.7
1.1.Основные понятия.7
1.2. Устойчивость9
2. Необходимые алгоритмы.10
2.1.Алгоритм метода D-разбиения10
2.2.Практическая реализация11
2.3.Явные методы Рунге-Кутты13
Популяционная модель Хатчинсона15
1.Устойчивость положения равновесия. Метод D-разбиения в случае одного параметра16
2.Метод Рунге-Кутты 4го порядка, реализация20
3.Бифуркация Хопфа24
Вывод26
Заключение27
Список использованных источников28
Приложения30
Список использованных источников
Д.Э. Хатчинсон, «Homage to Santa Rosalia, or why are there so many kinds of animals?» (1959)
О. Н. Чижова «Методы построения решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом», учебное пособие
Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. «Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом». М., 1971.
Беллман Р., Кук К. «Дифференциально-разностные уравнения». М., Мир, 1967.
Ю. Ф. Долгий, П. Г. Сурков «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ».
https://studfile.net/preview/5338104
https://toehelp.ru/theory/tau/lecture11.htm
«Global Attractivity for a Population Model with Time Delay», American Mathematical Society 1995, Joseph W.-H. So and J. S. Yuhttps://www.jstor.org/stable/2160562?searchText=Global%20Attractivity%20for%20a%20Population%20Model%20with%20Time%20Delay&searchUri=%2Faction%2FdoBasicSearch%3FQuery%3DGlobal%2BAttractivity%2Bfor%2Ba%2BPopulation%2BModel%2Bwith%2BTime%2BDelay&ab_segments=0%2Fbasic_search_gsv2%2Fcontrol&refreqid=fastly-default%3Af8a5af854dd06b73fce643827551e158
«Full Delay Logistic Population Model with Sustainable Harvesting», Journal of Applied Mathematics 2022(9), Martin Anokye, Elvis Kobina Donkoh, Michael Fosu Ofori, Agnes Adom-Konaduhttps://www.researchgate.net/publication/362965489_Full_Delay_Logistic_Population_Model_with_Sustainable_Harvesting
«МОДЕЛИРОВАНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ АГРЕССИВНЫХ ЧУЖЕРОДНЫХ ВИДОВ В НЕПРЕРЫВНЫХ МОДЕЛЯХ С НЕЗАВИСИМОЙ РЕГУЛЯЦИЕЙ», А. Ю. Переварюха, Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. — 2018. — № 4. — С. 48-58.https://reader.lanbook.com/journalArticle/562678#1
«Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией», Е. Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 398 с.https://reader.lanbook.com/book/48283#288
«Многоликий хаос», Е. Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2012.https://reader.lanbook.
p = 0nj = 0mapjx(p)(t - τj) = 0, (4)
где apj - коэффициенты, τj - отклонения аргумента.Характеристический квазиполином имеет вид:
φz= Pnz+Qn-1ze-τz Он строится путём подстановки в (4) в качестве x(t) функции ezt. Далее, вынося ezt за скобку, в скобках получим полином φz.
φzezt = 0
Функция ezt является решением уравнения (4) в том и только том случае, если z является нулем функции φ. Устойчивость определяется расположением его корней на комплексной плоскости, так как при переходе через «нуль» изменяется знак вещественной части корней.
Характеристический квазиполином соответствует уравнению n-го порядка с запаздывающим аргументом с одним запаздыванием, где Pn(z) и Qn-1(z) – полиномы соответственно степени n и не выше n-1.
Необходимо построить границы D-разбиения и определить области устойчивости.
Алгоритм решения задачи:
Разобьем пространство коэффициентов на области гиперповерхностями, точкам которых соответствуют