Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Введение
При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие физические величины, но сравнительно легко устанавливается зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами.
Таким образом, большинство физических явлений описывается на языке дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные функции под знаком производной или дифференциала.
Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.
Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмот
Содержание
Введение 3
1. Теоретическая часть 5
1.1. Структура общего решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами 5
1.2. Метод вариации постоянных 6
1.3. Метод неопределенных коэффициентов 6
1.4. Принцип суперпозиции 7
1.5. Уравнение Эйлера 2ого порядка 8
2. Сайт для автоматического применения алгоритма нахождения общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 9
2.1. Основной код программы 10
3. Примеры 21
Заключение 41
Список литературы 42
Список литературы
1. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. – М: Айрис-пресс, 2007. – 592 с.
2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009. – 608 с.
3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. –Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. –176 с.
4. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. – М: КомКнига, 2007. – 240 с.
5. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов. – М: Высш. шк., 2005. – 479 с.
Частица массы m движется по оси Ox, отталкиваясь от точки x=0 с силой 0,36mr_0 и притягиваясь к точке x=1 с силой 0,72mr_1, где r_0 и r_1– расстояния до этих точек. Определить движение частицы с начальными условиями x(0)=4, x^' (0)=0.
Решение.
Пусть в момент времени t частица находилась в точке x(t). Запишем уравнение второго закона Ньютона для сил, действующих на точку:
0,36mx+0,72m(1-x)=mx^''.
После сокращения на «m» и приведения подобных членов, получим дифференциальное уравнение движения частицы:
x^''+0,36x=0,72.
Характеристическое уравнение для x^''+0,36x=0:
λ^2+0,36=0,
λ_1,2=±0,6i.
Общее решение x^''+