История развития апостериорных оценок решения в механике сплошных сред
Введение
Современные достижения человечества в науке и технике основываются на подходах математического моделирования систем и процессов. Благодаря математическому моделированию возможно прогнозировать поведение несущих конструкции под действием сил собственного веса или ветровой нагрузки, плавучесть судов и процессы тепломассопереноса в сосудах без проведения дорогостоящих натурных испытании.Важную роль в повседневной жизни занимают вопросы поведения металлических конструкции в области линейных упругих деформации. Современная сложность подобных задач не позволяют находить аналитические или приближенные решения. В связи с этим целесообразно использовать численные методы решения задач, реализованных в комплексах программ.Наиболее распространенным численным методом решения инженерных задач является метод конечны элементов (далее МКЭ).
Содержание
Введение
Основные направления исследованииРезидуальные методы
Резидуальные апостериорные оценки при решении дифференциальных уравнении
Функциональные подходы к вычислениям с гарантированной точностью
Заключение
Список использованных источников
Список использованных источников
1. Babuska I., Rheinboldt W.C. Error estimates for adaptive finite element computations // SIAM J. Numer. Anal., Vol. 15, 1978. pp. 736-754.
2. Babuska I., Rheinboldt W.C. A-posteriori error estimates for the finite e;ement method // Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 12, 1978. pp. 1597-1615.
3. Verfurst A. A review of a posterior error estimatmit method and apaptive mesh-refinement techniques Wiley and Sons // Teubner, 1996.
4. Clement P. Approximation by finite element functions using local regularization // Rev. Franc. Aitomat. Inform. Rech. Operat., Vol. 9, no. 2, 1975. pp. 77-84.
5. Zienkiewicz O.C. Z.J.Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis // Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 24, 1987.
6. Zienkiewicz O.C. Z.J.Z. The superconvergent patch recovery and a posteriori error estimates. I: The recovery technique // Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 33, no. 7, 1992. pp. 1331-1364.
7. Hlavacek I K.M. On a superconvergance finite element scheme for elliptic systems. I. Dirichlet boundary conditions // Aplikace Matematiky , No. 2, 1987.
8. Carstensen C. B.S. Each averaging technique yields reliable a posteriori error control in FEM on unstructured grids. Part I: Low order conforming, nonconforming, and mixed FEM // Math. Comp., 71(2002).
9. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнении второго порядка в двумернйо области с гладкой границей. Т. 9. 1969. 1102-1120 с.
10. Randolph E. Bank R.K.S. A Posteriori Error Estimates Based on Hierarchical Bases // SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 30, No. 4, 1993. pp. 921-935.
11. Prager W. S.J.L. Approximations in elasticity based on the concept of function space // Quart. Appl. Math., Vol. 5, 1947. pp. 241-269.
12. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Москва: Мир, 1970. 512 с.
С развитием вычислительных возможностей ЭВМ стало возможно решать сложные прикладные задачи в науке и технике. Самым распространенным по-многи причинам методом стал метод конечных элементов. Благодаря этому методу до сих пор решаются задачи механики деформируемого твердого тела, задачи линейной теории упругости и пластичности.Однако, в силу принципиальных особенностей построения ЭВМ, необходимо контролировать качество полученного решения. С начала 70-х годов начали появляться методы позволяющее осуществлять этот контроль. Разные подходы обеспечивали разный уровень вычислительной сложности и оценки ошибки.В настоящий момент наиболее перспективным считается подход, основанный на функциональных оценках. Первые работы по этой тематике датируются 40-ым годам XX века. В отечественной литературе первые работы появляются в 60-е годы. Активный рост публикации начинается в 90-ые года, а в 2008 С.И. Репин публикует книгу [13], в которой описывает функциональные подходы к оценке решения задач, в частности, теории упругости. Дальнейшее развитие функциональных оценок от отечественных исследователей, в частности исследователей из Санкт-Петербургского политехнического университета имени Петра Великого, описаны в работах [14], [15].