Применение эйлеровых интегралов для решения задач анализа
Введение
Во многих случаях первообразная от заданной элементарной функции не выражается никакими конечными комбинациями основных элементарных функций. Об этих функциях говорят, что они не интегрируемы в конечном виде. В ряде случаев, для вычисления используют так называемые эйлеровы интегралы, являющие собой особый класс функций, которые представляются в виде собственного либо несобственного интеграла, зависящего не только от формальной переменной, а и от параметра. К эйлеровым интегралам относятся так называемые бета- и гамма-функции Эйлера.Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, применение ее свойств поможет при изучении многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.Благодаря её введению значительно расширяются возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование гамма-функции, хотя бы при промежуточных преобразованиях.Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.Цель данной работы – изучить бета- и гамма-функции, их свойства, установить связь между ними и научиться применять их для вычисления интегралов.
Содержание
1. Основные сведения о теории эйлера
1 эйлеров интеграл первого рода (бета-функция)
2 эйлеров интеграл второго рода (гамма-функция)
связь между гамма и бета функциями
1 формула дополнение
2 формула эйлера
Примеры вычисления интегралов с использованием эйлеровых интегралов
1 Численное интегрирование с помощью метола эйлора
Заключение
Список литературы
Список литературы
Аксенов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 1999
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1966. – 735 с.
Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С, Мордкович А.Г., Математический анализ: интегральное исчисление. – М.: Наука, 1979. – 435 с.
Виленкин Н.Я. Специальные функции. – М.: Наука, 1976. – 412 с.
Лебедев И.И. Специальные функции и их приложения: М., гостехтериоиздат,1953-234 с.
Орлов Ф. Асимптотика и специальные функции. – М.: Наука, 1973 – 215 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: т. 1, – М.: Интеграл-пресс, 2002. – 415 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 807 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, М.: Физмалит, 2001г., том 2, стр.750Зорич В.А. Математический анализ, М.: Фазис, 1984г., том 2, стр.431Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, М.: Дрофа, 2003г., том 2, стр.684
Гамма и бета-функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.Для гамма-функции составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями.Определенные интегралы различных типов могут быть выражены через гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов.Благодаря этому эйлеровы интегралы широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.Я рекомендую симплектический метод Эйлера. Он «дёшев» и прост в реализации, гораздо стабильнее явного метода Эйлера и в среднем стремится к сохранению энергии даже при близких к предельным условиях.