Комплексные числа и их геометрическая интерпретация
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время комплексные числа широко используются как в математических дисциплинах, физике, так и во многих технических дисциплинах. В некоторых случаях использование комплексных чисел позволяет сформулировать задачу, провести ее решение и записать полученные формулы в компактном и изящном виде.Заметим, что комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные, поскольку действительные числа – это только часть множества комплексных чисел. Открытие комплексных чисел вооружило ученых новыми, более общими методами исследования. Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность.Навыки работы с аппаратом комплексных чисел дают возможность обнаружить новые факты и делать обобщения. Широкое использование комплексных чисел в математике и физике, с одной стороны убеждает школьников в реальности и полезности этих чисел. С другой стороны, навык работы с комплексными числами сам по себе очень интересен и важен, особенно для будущих студентов технических вузов. Поэтому изучение комплексных чисел на факультативных занятиях в старших классах с математическим профилем вместе с их приложениями к вопросам геометрии, тригонометрии, физики позволит повысить уровень математической подготовки учащихся. Выбор темы исследовательского проекта “комплексные числа и их применение” представляется актуальным, так как в школьном курсе они не изучаются, хотя комплексные числа имеют широкое применение в других разделах математики.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
1.1. Основные определения и действия с комплексными числами
1.2. Появление геометрической формы комплексного числа
1.3. Понятие о геометрической интерпретации комплексного числа
1.4. Модуль и аргумент
1.5. Геометрическое изображение суммы и разности комплексных чисел
РАЗДЕЛ 2. РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
2.1. Задачи на изображение сложения и разности комплексных чисел
2.2. Практические задачи на
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A·X+B=0 (A 0). Но нужно понимать, что алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Иррациональные числа вместе с рациональными составляют множество действительных чисел.Рассмотрим квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом, например, X2+1=0. Данное уравнение не будет иметь действительных корней, так как дискриминант квадратного уравнения окажется отрицательным. Соответственно, можем сделать вывод, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Не составит труда предложить примеры уравнений с целыми коэффициентами, корни которых рациональные числа или уравнения с рациональными числами, корни которых иррациональные числа и т.п. Можем привести такие как 2x + 3 = 0 или x 2 − 3 = 0, где корни уравнения могут лежать во множестве более широком, чем то, из которого взяты коэффициенты уравнения. Эта причина стала одной из тех, что побудила расширить множество действительных чисел.Поэтому и приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.