Асимптотическое решение линейной сингулярно-возмущенной задачи оптимального быстродействия
Введение.
Из всех методов нахождения оптимальных управлений для решения задач предельного быстродействия для широкого класса объектов наибольшее применение получил принцип максимума Л.С. Понтрягина [1,2]. При построении решений сингулярно-возмущенных задач оптимального быстродействия, разделения движений в управляемых сингулярно-возмущенных системах рассматривались многими авторами, среди них можно отметить работы [3-8]. Задачи оптимального управления объектами управления в которой, является сингулярно-возмущенные управляемые системы, были предметом и нашего исследования [9-12].
Данная работа является развитием исследований вышеупомянутых работ по данной проблеме.
1. Постановка задачи.
Пусть объект управления описывается сингулярно-возмущенным дифференциальным уравнениям
xt=A1xt+A2zt+B1ut,(1)
μzt=A3xt+A4zt+B2ut,(2)
Содержание не найдено
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. - М.: Наука, 1975. – 528 с.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М: Наука. 1961. - 391 с.
3. Геращенко Е. И., Геращенко С.М. Метод разделение движений и оптимизация нелинейных систем - М: Наука, 1975. - 296 с.
4. Гичев Т.Р., Дончев А.Л. Сходимость решение линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия //Прикл. мат. и мех., 1979, 43, №3. – С. 466 – 474.
5. Есипова В.А. Асимптотическое решение линейной задачи оптимального быстродействия //В сб. «Дифференц. уравнения и их прил.» Вып. 2. Днепропетровск, Днепропетр. ун-т, 1973. – С. 50 – 59.
6. Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия //Прикл матем. и мех., 1989, т. 53. Вып 5. – С. 880 – 889.
7. Collins W.D. Singular perturbations of liear tirne-optimal control problems //Recent Math. Develop. In control. London – New York, Academic, 1973. – P. 123 – 136. (РЖМат, 1975, 3Б536).
8. Halanay A., Mirica St. The time optimal feedback control for singularly perturbed linear systems //Rev. roum. math. pures et appl., 1979, 24, No. 4. – P. 585 – 596. (РЖМат, 1979, 12Б594).
9. Иманалиев З.К., Аширбаев Б.Ы. Разделение движений сингулярно-возмущенной управляемой системе //Исслед. по интегро-дифф. уравнениям. – Бишкек: Илим, 2007. Вып. 36. - С.136 –141.
10. Иманалиев З.К., Аширбаев Б.Ы. О переходных матрицах медленных и быстрых подсистем управляемой системы с малым параметром /Труды межд. научной конференции посв. 70 летию акад. М.И Иманалиева //Вестник КГНУ им. Ж. Баласагына. Серия 3. Естест.-тех. науки. - Вып.6, Бишкек, 2001. - С. 235- 239.
11. Иманалиев З.К., Аширбаев Б.Ы. Управление с минимальной энергией в сингулярно-возмущенной системе с постоянными коэффициентами //Вестник Казахского Национального университета им. Аль-Фараби. – Алматы, 2005. - №3 (46). - С. 9- 15.
1
A2tH0(t), ⋯, Hi(t,μ)=A4-1(t)μHi-1t+Hi-1(t)A1(t)+j=0i-1Hj(t)A2(t)Hv-1(t),
i=1,2,⋯, v=i, i-1, i-2, ⋯, N0(t)=-A2(t)A4-1(t), (13)
N1t,μ=μN0t+A1tN0t+A2tH0tN0t+ +N0(t)H0(t)A2(t)A4-1(t), ⋯, Nkt=μNk-1t+A1tNk-1t+A2tj=0k-1HjtNs-1t+ +j=0k-1NjtHs-1tA2tA4-1t, k=1,2,⋯, s=i, i-1, i-2, ⋯.Граничные условия системы (7) с учетом (8) имеют вид:
xt0=x0, zt0=z0,(14)
xt1=x1, zt1=z1,(15)
где xs=xs+μNzs, zs=zs-Hxs, s=0, 1.При μ=0 из уравнения (1), (2) получаем:
xt=A1xt+A2zt+B1ut,
0=A3xt+A4zt+B2ut
или
xt=A0xt+B0ut,(16)
zt=-A4-1A3xt-A4-1B2ut,где A0=A1-A2A4-1A3, B0=B1-A2A4-1B2.В работе [10] доказано, что при выполнении условий (6) исходную систему (1), (2) можно заменить эквивалентной системой (7). Так как, при выполнении условий (6) матрица A4 является устойчивой и при достаточно малых значениях параметра μ действительной части собственных значений матрицы A1 и A4 будут отрицательными и близкими к собственным значениям матриц A0 и A4 соответственно. Поэтому, вместо системы