Применение теории марковских процессов к анализу нелинейных случайных колебаний
Аннотация. Работа посвящена применению теории марковских процессов к решению нелинейных стохастических уравнений, описывающих колебания механических систем. Применение этой теории позволяет определить переходную плотность распределения фазовых переменных выходного процесса, которая дает самое полное вероятностное описание случайных колебаний. Однако область применения марковских методов ограничивается трудностями решения уравнения Фокера–Планка–Колмогорова (ФПК), представляющего собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных. Эти трудности возрастают при неаналитических коэффициентах, а также с увеличением числа измерений фазового пространства. Поэтому исследования в направлении расширения применения методов теории марковских процессов к анализу случайных колебании являются актуальными.
В данной работе на основе точного решения уравнения Колмогорова получены явные выражения плотности распределения перемещений для уравнения Дуффинга и уравнения с сухим трением. Эти выражения использованы для оценки точности приближенных решений, полученных методом статистической линеаризации. В работе также предложены приближенные аналитические решения уравнении нелинейных колебаний, разработанные на основе сочетания теории марковских процессов с методом стохастического усреднения. Решение для квазилинейных систем получено введением «медленно» меняющихся амплитуды и фазы колебаний. Для автономных систем укороченные уравнения для амплитуды и фазы разделяются и можно получить стационарное решение уравнения Колмогорова. Решение для квазиконсервативных систем получено введением новой «медленной» переменной – энергии колебаний.
Содержание не найдено
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. – М.: Советское радио, 1977. – 488 с.
2. Socha L. Linearization in analysis of nonlinear stochastic systems: recent results. Pt. 1. Theory // Applied Mechanics Reviews. – 2005. – Vol. 58, iss.
3. – P. 178–205. – doi: 10.1115/1.1896368. 3. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. – М.: Наука, 1980. – 368 с.
4. Николаенко Н.А., Ульянов С.В. Статистическая динамика машиностроительных конструкций. – М.: Машиностроение, 1977. – 368 с.
5. Красовский А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. – М.: Наука, 1974. – 244 с.
6. Ibrahim R.A. Recent results in random vibrations of nonlinear mechanical systems // Journal of Mechanical Design. – 1995. – Vol. 117, iss. B. – P. 222–233. – doi: 10.1115/1.2836461.
7. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. – М.: Наука, 1989. – 176 с.
8. Митропольский Ю.А., Коломиец В.Г. Усреднение в стохастических системах // Украинский математический журнал. – 1971. – Т. 23, № 3. – С. 318–345.
9. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. – М.: Наука, 1979. – 336 с.
10. Макаров Б.П. Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов. – М.: Машиностроение, 1983. – 264 с.
11. Effect of stochasticity on targeted energy transfer from a linear medium to a strongly nonlinear attachment // T.P. Sapsis, A.F. Vakakis, L.A. Bergman // Probabilistic Engineering Mechanics. – 2011. – Vol. 26, iss. 2. – P. 119–133. – doi: 10.1016/j.probengmech.2010.11.006.
12. Cross E.J., Worden K. Approximation of the Duffing oscillator frequency response function using the FPK equation // Journal of Sound and Vibration. – 2011. – Vol. 330, iss. 4. – P. 743–756. – doi: 10.1016/j.jsv.2010.08.034.
13. Lacquanti S., Riccardi G. A probabilistic linearization method for nonlinear systems subjected to additive an multiplicative excitations // Internat
Методы теории марковских процессов универсальны в том смысле, что применимы как к стационарным, так и нестационарным процессам, линейным, параметрическим и нелинейным системам. Некоторые задачи удается решить в точной постановке и в замкнутом виде, что позволяет использовать полученные решения в качестве эталона при оценке других методов. Вместе с тем необходимо отдавать отчет в трудностях применения методов теории марковских процессов, которые особенно возрастают при неаналитических коэффициентах, сложных границах, а также с увеличением числа измерений фазового пространства. Поэтому исследования в направлении расширения применения методов теории марковских процессов к анализу случайных колебаний остаются актуальными.
Данная работа посвящена применению теории марковских процессов к анализу нелинейных случайных колебаний.