Предел функции в точке и на бесконечности. Понятие предел функции. Вычисление простейших пределов
Предел функции в точке – одно из основных понятий математического анализа. Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательностиэлементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится. Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. Определение предела функции в точке по Коши. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа существует такое положительное число , что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < , выполняется неравенство | f(x) – a | < .
Содержание.
Введение.
1. Предел функции в точке. Определение Гейне и Коши.
2. Теоремы о пределах.
3. Вычисление пределов функции в точке.
4. Раскрытие неопределенности.
5. Односторонние пределы.
6. Предел функции на бесконечности.
7. Число е.
8. Замечательные пределы.
9. Вычисление пределов функции на бесконечности, раскрытие неопределенностей.
Задействованный список литературы.
Задействованный список литературы.
1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование). 2. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование). https://www.youtube.com/watch?time_continue=766&v=wH2kbfndYjM&feature=emb_logo
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e x x x 1 lim 1 0 . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении 1,5 = 225 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. (1 +1/3)превратятся в 100 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится: (1 +1/10)10100 259 (ден. ед.), (1+1/100)100100 270 (ден. ед.), (1+1/1000)1000100 271 (ден. ед.). При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел e x x x 1 lim 1 0 . Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2.718281828… (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого).