Нейросетевой подход к решению уравнений частных производных.
Введение
Теория дифференциальных уравнений c частными производными известна своими несколькими характерными особенностями. В первую очередь, она является основным инструментом исследований в современной математической физике. Данная теория начала свое развитие с XVIII века, как только появились понятия интегрального и дифференциальных исчислений. Именно через обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) новое исчисление шло к задачам геометрии и механики. Например, в областях, касающихся небесной механики, удалось сформировать логичные объяснения для ранее неизвестных явлений и добиться новых открытий (в частности, с помощью вычислений в обыкновенных дифференциальных уравнениях была открыт Нептун). Значительно позже появились уравнения в частных производных, которые возникали в виде определенных уравнений, открытых в физике. Таким образом в XVIII веке была открыта новая направленность анализа, называемая математической физикой. Одними из первых ученых – математиков, внесших вклад
Содержание
Список сокращений……………………………..……………………………………………4
Введение………..……………………………………………………………………………..5
Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных……...……….6
Метод Эдварда Канза……………………………………………...………………..6
Методы В.И.Горбаченко………………...………………………………………….6
Методы С.А. Терехова и Н.Н.Федоровой………………………..………………..7
Метод Исааака Лагариса……………………………..……………………………..8
Метод Эмана А. Хуссиана, и Мазина Х. Сухием…………………………………8
Метод М. Раисси, П. Пердикарис и Г.Е. Карниадакис…………………………...9
Архитектура нейронных сетей и способы решения уравнений в частных производных..11
Клеточные нейронные сети……………………………………………………..11
Радиально – базисные нейронные сети (RBFN)……………………………….12
Нейронная сеть прямого распространения…………………………………….14
Модифицированная искусственная нейронная сеть…………………………..16
Нейронная сеть на основе физических данных………………………………..17
Язык программирования и интегрированная среда разработки………………………….20
Python……………………………………………………………………………….20
Интегрированная среда разработки………………………………………………22
Редактор и IDE с поддержкой Python…………………………………………….22
Установка IDE……………………………………………………………………...23
Библиотеки для работы в Jupyter Notebook…………………………………….24
Решение дифференциальных уравнений частных производных………………………27
Волновое уравнение……………………………………………………………….27
Решение волнового уравнения с применением нейронной сети……..29
Результат работы нейронной сети при решении волнового уравнения..30
Уравнение Бюргерса…………………………………………………………….32
Решение уравнения Бюргерса с помощью нейронной сети…………..32
Результат работы нейросети при решении уравнения Бюргерса……..35
Уравнение эйконала…………………………………………………………….37
Решение уравнения эйконала используя нейронную сеть……………37
Результат работы нейронной сети при решении уравнения эйконала…39
Заключение…………………………………………………………………………………..41
Список литературы и информационных ресурсов………………………………………..42
Список литературы и информационных ресурсов
Гаврилов В.С, Денисова Н.А. «Метод характеристик для одномерного волнового уравнения», 2014. – 72с.
Васильев А. Н., Тархов Д. А., Шемякина Т.А. «Нейросетевой подход к задачам математической физики» / А.Н. Васильев, Д.А. Тархов, Т.А. Шемякина. — СПб.: Нестор-История, 2015. — 260 с.
С. Н. Кружков, «Обобщенные решения уравнений Гамильтона–Якоби типа эйконала. I. Постановка задач, теоремы существования, единственности и устойчивости, некоторые свойства решений», Матем. сб., 1975, том 98(140), номер 3(11), 450–493
Дорофеев, Е.А. «Применение нейросетевых технологий в задачах аэродинамического проектирования и определения характеристик летательных аппаратов» / Е.А. Дорофеев, Свириденко Ю.Н. // Модели и методы аэродинамики. — 2002. — Pp. 86–87.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II. Теория поля».— 7-е изд., испр.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 512 с.
Kansa E. J. «Motivation for using radial basis functions to solve PDEs» // Lawrence Livermore National Laboratory and Embry-Riddle Aeronatical University. – 1999.
Lagaris I.E., Likas A., Fotiadis D.I. «Artificial Neural Networks for Solving Ordinary and Partial Differential Equations»// IEEE Transactions on Neural Networks. – 1998. – Vol.9, No. 5. – pp. 987-1000.
Eman A. Hussian, Mazin H. Suhhiem., «Numerical Solution of Partial Differential Equations by using Modified Artificial Neural Network. Network and Complex Systems». - 2015
M. Raissi, P. Perdikaris, G.E. Karniadakis, «Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations».// Journal of Computational Physics 1 February 2019, Pages 686-707
Dissanayake, M.W.M.G. «Neural-network-based approximations for solving partial differential equations» / M.W.M.G. Dissanayake, N. Phan-Thien // communications in Numerical Methods in Engineering. — 1994. — Vol. 10,
Расположение точек коллокации может не соответствовать расположению центров радикально – базисной функции, для регулярных областей принято располагать центры в узлах сетки или распределять с помощью случайного подбора. Один из возможных подходов — это определить местоположения большего объема нейронов на границе области, и некоторого количества – внутри и вне области. Также имеет место изменения местоположения центров прямо во время обучения модели – такой подход дает наиболее успешные результаты.
Проблему с необходимом количеством нейронов для обучения нейронной сети можно решать путем подбора или же путем увеличения сети, то есть прибавления узла в той области расчётов, где получившаяся ошибка больше остальных. Плюсом будет использование нейросетей с так называемой активацией связующих нейронов, где не существует четких требований